LiliMath en seconde

Le programme de seconde "s'inscrit dans la continuité de celui qui est mis en oeuvre dans les classes de collège et appliqué dans les classes de troisième à compter de la rentrée 1999". Les logiciels LiliMath déjà utilisés dans de nombreux collèges deviennent donc un moyen de mettre cette continuité en oeuvre. Ils peuvent prendre une place importante pendant les séances de travail en module ou pour l'aide individualisée.

Ce document essaie de montrer comment ce que propose LiliMath au Lycée peut s'inscrire dans la mise en oeuvre du programme de seconde.

Chapitres du programme

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Commençons par une mise en relation des chapitres du programme et des activités proposées par LiliMath au Lycée.

Calcul et fonctions

Nombres

• Calcul mental : les exercices de calcul mental permettent d'améliorer la connaissance des nombres en intériorisant leurs propriétés. La section Calcul mental de propose de travailler sur :
  • les opérations entre nombres relatifs
  • la simplification des fractions et le produit d'une fraction par un entier
  • l'utilisation des puissances de 10

• Calcul numérique : deux thèmes sont traités dans cette section de LiliMath au Lycée.
• le calcul de sommes algébriques : il faut remplacer des lettres par une valeur numérique avant d'effectuer le calcul
• l'utilisation des racines carrées

Fonctions

• Fonctions : cette section du menu propose diverses activités mettant en jeu des représentations graphiques de fonctions.
• Déplacements : il faut construire un graphique représentant les déplacements d'un personnage
• Equations de droites : plusieurs activités sur la relation entre droite et équation du type y=ax+b
• QCM fonctions : utilisation du vocabulaire attaché à la notion de fonction (image, antécédent, croissance, ...), résolution graphique d'équations
• La croisière d'un mathématicien : lecture de tables, animations sur les marées

Fonctions et formules algébriques

• YFX : cet outil permet d'étudier des fonctions définies par une formule du type y=f(x) en traçant leur courbe et en construisant des tableaux de valeurs. Quatre fonctions peuvent être étudiées simultanément, ce qui permet d'étudier les conséquences graphiques de la modification des formules, par exemple le rôle des coefficients a et b pour les fonctions f(x)=ax+b, ou la comparaison des courbes des fonctions x², (x-p)² et x²+q.
• MINILOGO : cet outil peut servir de calculatrice intégrant des variables et permet de mettre en oeuvre des algorithmes simples de calculs comme la résolution approchée d'équations par balayage, l'évolution d'un capital, la recherche de diviseurs premiers,...
• Calcul littéral : on trouve dans cette section des activités sur les développements et factorisations qui seront nécessaires à la démonstration des conjectures liées à l'étude graphique.
• Développements d'expressions du type (ax+b)(cx+d) ou (ax+b)²
• Factorisations à l'aide d'un facteur commun
• Factorisations à l'aide d'identités remarquables

Mise en équation et résolution algébrique d'équations

• Equations : cette section du menu propose les activités suivantes
• Résolution mentale d'équations élémentaires, x+a=b, x-a=b, ax=b ou x/a=b avec a et b entiers relatifs
• Résolution d'équations du type ax+b=cx+d
• Résolution de systèmes de 2 équations à 2 inconnues
• Mise en équation de petits problèmes
• L'outil Proglin permet d'étudier les systèmes d'inéquations et de résoudre des problèmes simples de programmation linéaire.
• L'outil Calcalg permet de résoudre des équations en utilisant la possibilité d'effectuer une même transformation dans les deux membres d'une égalité. La possibilité d'effectuer des substitutions amène d'une part à la vérification des solutions trouvées et d'autre part à la résolution de systèmes.

Géométrie

Géométrie dans l'espace

• Géométrie dans l'espace : cette section du menu propose plusieurs activités liées à la représentation en perspective cavalière.
• Dessins de pavés droits, d'immeubles, de prismes droits dans des réseaux quadrillés
• Polycubes : reconstruction de solides formés par un assemblage de 5 cubes
• QCM sur les positions relatives de points, droites et plans à partir d'un pavé droit
• Calculs de volumes de prismes droits
• L'outil GEOLAP permet de construire des solides et des patrons de solides à l'aide d'un langage proche du Logo. Lorsque les solides sont construits il est possible de les déplacer ou de les faire tourner. Les patrons peuvent aussi être pliés et dépliés.

Les configurations du plan

• Géométrie plane : cette section du menu permet de revoir les acquis de la classe de troisième
• Théorèmes de base : il faut retrouver dans une liste le théorème utilisable à partir d'hypothèses données
• Exercices de calculs d'angles, de longueurs et d'aires basés sur le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès et les rapports trigonométriques.
• Notion de coordonnées à partir d'une bataille navale
• Transformations : cette section du menu propose des activités de construction d'images de points par une isométrie soit "à vue de nez" soit à l'aide d'un quadrillage.
• IMAGEO et DECLIC : constructions de figures planes et mise en évidence d'invariants ou de lieux de points. Imageo nécessite l'écriture d'un programme de construction, Declic permet de céer les figures à la souris.
• MINILOGO : cet outil permet de construire des figures planes en programmant les déplacements d'une tortue Logo.

Statistiques

• Proba/Stats : cette section du menu propose des activités de calculs de pourcentages à partir de tableaux ou de graphiques.
• L'outil URNE permet de simuler des tirages de boules dans une urne et de comparer les fréquences obtenues aux probabilités attendues.

La place des TICE

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Le programme de seconde fait référence dans chacun de ses chapitres à l'utilisation des TICE (Technologies de l'Information et de la Communication pour l'Education). Grâce aux outils proposés, LiliMath au Lycée permet de répondre complètement à cette exigence.

Une démarche expérimentale

L'utilisation des outils donne de nombreuses possibilités d'observation et de manipulation qui permettent d'approcher de façon active les notions et problèmes étudiés. Les propriétés à démontrer ne sont plus données a priori par le professeur, elles peuvent être découvertes par l'élève.

• Dans le domaine numérique, l'utilisation de variables avec MiniLogo ou l'utilisation du tableur permettent d'effectuer rapidement des calculs nombreux. La mise en place de ces calculs nécessite une réelle réflexion sur le problème posé et favorise la compréhension de la notion de variable. Lorsque les calculs sont effectués, l'observation des résultats stimule l'esprit critique (ces résultats correspondent-ils à ce que je cherche ? ) et permet des découvertes (comment la suite des résultats évolue-t-elle ?).
• Dans le domaine géométrique, les modifications de l'aspect d'une figure obtenues avec Imageo ou Declic permettent de faire des conjectures concernant des invariants, donc des propriétés à démontrer. La possibilité d'ajouter rapidement de nouveaux objets permettant de tester les conjectures amène l'élève à une véritable démarche scientifique.

Avantage pour l'apprentissage

On peut distinguer plusieurs domaines dans lesquels l'utilisation des outils informatiques pourra amener des effets positifs.

• Rigueur et précision du langage.

S'adresser à un ordinateur se fait en suivant des procédures qui nécessitent de tout préciser, il n'est plus possible de présupposer une bonne volonté de l'interlocuteur qui saura compléter les oublis ou interpréter des expressions un peu vagues. Pour construire une perpendiculaire il faut préciser par quel point elle passe et à quelle autre droite elle est perpendiculaire. Pour écrire une formule il faut indiquer toutes les opérations qui doivent être effectuées.
• Esprit d'analyse

Qu'il s'agisse d'écrire un programme de construction ou un programme de calculs répétitifs, il est nécessaire de décomposer une action globale en actions élémentaires réalisables par l'ordinateur. Les connaissances mathématiques trouvent là un champ d'application illimité. Par exemple, la construction d'une figure ne peut se faire qu'en utilisant les définitions et théorèmes étudiés dans le cours de géométrie. Les isométries, en particulier, pourront être utilisées de façon simple. Finalement, les figures géométriques pourront être considérées autrement que comme une globalité où tout est donné de façon immédiate, elles deviendront le résultat d'une suite d'opérations élémentaires. L'introduction d'un ordre dans la construction, donc d'une dimension temporelle faisant intervenir un avant et un après, permettra de redonner du sens aux notions d'hypothèses et de conclusion utilisées dans les démonstrations.
• Cas général - cas particulier

La possibilité de faire varier rapidement certains éléments d'une figure ou certaines variables d'une formule montre  de façon concrète leur généralité. La figure qui apparaît sur l'écran de l'ordinateur ne peut plus être la figure figée et donc particulière que l'on dessine sur une feuille. Elle devient l'ensemble des figures obtenues en déplaçant les points libres. Les conjectures que l'on peut faire doivent résister à ces déplacements.
• Images mentales

Les liens entre le numérique et le géométrique qui peuvent apparaître rapidement avec un traceur de courbes ou un tableur induisent des images mentales qui permettront d'illustrer et de mieux mémoriser des résultats d'algèbre ou d'analyse. L'image de la parabole associée aux équations du second degré permet de comprendre simplement le nombre de solutions trouvées.

L'activité mathématique des élèves

Les élèves doivent être amenés à expérimenter les diverses facettes de l'activité mathématique : chercher, trouver des résultats partiels, se poser des questions, expérimenter, expliquer une démarche, accéder au plaisir de la découverte... sont des activités aussi nécessaires que l'application de techniques bien comprises ou l'étude de démonstrations faites par le professeur. L'utilisation de LiliMath au Lycée rend possible une grande diversité des activités proposées, de la vérification des connaissances acquises à la découverte de notions nouvelles en passant par l'entrainement nécessaire à la maitrise de certaines techniques.